本原多项式，本原多项式的介绍

本文目录一览

1，本原多项式的介绍
2，什么是本原多项式
3，什么是伽罗华域的本原多项式
4，若一个n次多项式f为本原多项式应满足什么条件
5，6次本原多项式有哪些
6，有限域本原多项式的一道证明

1，本原多项式的介绍

本原多项式的定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。

本原多项式的介绍

2，什么是本原多项式

系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式

设f(x)是一个整系数多项式, 若f(x)的系数的公因子只有±1, 则称f(x)是一个本原多项式.

什么是本原多项式

3，什么是伽罗华域的本原多项式

指的是有限域的有限扩张的本原元的最小生成多项式，由于有限域的乘法群是循环的，所以这里的本原元即是生成元。例如：设GF(p^m)为GF(p)的m维扩张（之所以阶为p^m是因为有m维每维有p种取法），则若f(x)∈F(p)[x]且f(x)|x^(p^m-1)而不整除x^k（k

本原多项式的定义：系数取自gf(p)上，以gf(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。

什么是伽罗华域的本原多项式

4，若一个n次多项式f为本原多项式应满足什么条件

本原多项式是近世代数中的一个概念，是唯一分解整环上满足所有系数的最大公因数为1的多项式。本原多项式不等于零，与本原多项式相伴的多项式仍为本原多项式。

对于一些比较复杂的函数，为了方便研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式函数是最为简单的一类函数，它只要对自身变量进行有限次的加，减，乘三种算术运算，就能求出其函数值，因此，多项式经常被用来近似地表达函数，这种近似表达在数学上经常称为逼近。所以刚开始只是进行一个猜想存在一个多项式，可以近似的等于f（x）。然后泰勒等人经过研究而找到了展开的方法。为了能够进行泰勒展开，必须满足一定条件的。并不是所有的函数都能够找到一个n次多项式，可以近似相等的，也就是说并不是自然存在的！

5，6次本原多项式有哪些

(1) 首先确定n级本原多项式的个数λ(n),λ(n)即是n级本原多项式的个数。　　(2) 求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。　　(3) 排除〔Si〕中不适合的数　　* 排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）　　* 排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0．　　* 排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。　　(4) 根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其M序列｛Ai｝（长度为2n－1）. 　　(5) 依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对｛Ai｝进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列｛Si｝，在｛Si｝中找到形如000…01（n位）的序列段｛Mi｝，并提取包括｛Mi｝为前n项的2n长度的序列：　　Am+0，Am+1，…，Am+n-1，　　0 0 … 1 　　Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1 　　X X … X 　　欲确定的Ci可用下列方程组确定; 　C1＝Am+n 　　C2＝Am+n+1+C1Am+n 　　C3＝Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n

6，有限域本原多项式的一道证明

若m是一个合数, 则存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式, 不是本原多项式.证明: 设m = qn, 其中q > 1是m的最小质因数. 由m是合数, 有n > 1为m的最大真因数.GF(p^m)的子域均形如GF(p^k), 其中k为m的约数.于是GF(p^m)的阶数最大的真子域就是GF(p^n).考虑r = (p^m-1)/(p^q-1) = (p^(qn)-1)/(p^q-1) = p^(q(n-1))+p^(q(n-2))+...+1为整数.有r是p^m-1的约数, 且r < p^m-1 (因为p^q-1 > 1).此外由q ≥ 2, n ≥ 2, 可得q(n-1) ≥ 2n-2 ≥ n, 有r > p^n.GF(p^m)-r是p^m-1的约数, 于是其中存在r阶元, 设a是GF(p^m)-可知a不属于GF(p^m)的任意真子域GF(p^k), 否则a的阶数 ≤ p^k-1 ≤ p^n-1 < r.因此GF(p^m) = GF(p)[a], a的极小多项式f(x)是首1的m次不可约多项式.但r < p^m-1, a不是GF(p^m)的原根, 故f(x)不是本原多项式.即存在GF(p)上的首1的m次不可约多项式, 不是本原多项式.注: 对特征p > 2, 无论m > 1是否素数, r总可取为(p^m-1)/(p-1) < p^m-1.此时m是合数的条件是不必要的.

m次本原多项式的个数为 \phi(p^m-1)/m, \phi 是欧拉函数。系数在GF(p^m)上的m次首一多项式的个数为 (p^m)^m = p^(2m). 显然 (p^m)^m = p^(2m) >> \phi(p^m-1)/m ( 可用数学归纳法简单证得), 所以命题得证。

若m是一个合数, 则存在gf(p)上的首1的m次不可约多项式, 不是本原多项式. 证明: 设m = qn, 其中q > 1是m的最小质因数. 由m是合数, 有n > 1为m的最大真因数. gf(p^m)的子域均形如gf(p^k), 其中k为m的约数. 于是gf(p^m)的阶数最大的真子域就是gf(p^。